Sempre s’ha fet així

Hi ha moltes maneres de «fer una classe». Aquestes moltes maneres estan relacionades amb els teus coneixements sobre allò que vols que l’alumnat aprengui, però també depèn de què creus tu que l’alumnat ha d’aprendre (no tothom es guia pel currículum, però fins i tot els que se’l miren interpreten coses bastant diferents). A més, hi intervenen altres coneixements, no sobre l’objecte d’aprenentatge sinó sobre el subjecte: saps què sap l’alumnat?, saps quina relació manté amb l’aprenentatge?, amb les matemàtiques?, amb l’institut?, amb els seus companys?, amb tu? I, naturalment importa molt l’habilitat personal per transmetre passió, per fer-se entendre, per connectar amb l’alumnat, etc.

Però no només existeix l’objecte d’aprenentatge i el subjecte d’aprenentatge. Hi ha el mateix aprenentatge! Com aconseguim que el subjecte aprengui? Moltes persones, inclosos bona part dels docents, creuen que això és aprendre:

Aquesta és una representació extremadament simplificada, però resumeix bastant bé la idea que aprendre és introduir una sèrie d’idees a la memòria i fixar-les a llarg termini. Això és el fonament bàsic de la manera tradicional d’entendre l’educació que s’amaga darrere del «sempre s’ha fet així i no ens ha anat tan malament».

El paper del docent aquí és, bàsicament, seleccionar les idees que cal aprendre, mostrar-les (explicar-les, modelar-les…), ajudar a fixar-les a la memòria mitjançant activitats de repetició per consolidar aquests aprenentatges i, finalment, per exigències del sistema educatiu, però també com a principal motivació extrínseca, fer una comprovació que aquestes idees han estat correctament apreses. Sovint aquesta motivació extrínseca esdevé l’única motivació. El motor d’aquesta motivació és que la qualificació condueix a una acreditació i porta aparellat un reconeixement familiar i social, i una promesa de futur. Si es debilita el valor d’aquest reconeixement o s’incompleix la promesa, s’ensorra el castell i comencen els conflictes.

Anem a veure en què es tradueix aquesta idea d’aprenentatge quan la portem a l’aula, en concret a un hipotètic grup de 1r d’ESO. Faré servir com a exemple «l’àrea». Molts docents encara treballen amb una estructura mental organitzada en temes. En el «tema» de les àrees hi ha dues coses principals que cal aprendre: primer, què és l’àrea, i segon, com es calcula. El docent procedirà, doncs, a fer una definició inicial d’àrea. Aquesta definició tindrà una part «amb paraules» i una part «visual».

Una definició habitual d’àrea seria aquesta:

Si estem parlant de polígons, segurament en algun moment previ s’haurà fet una definició de polígon com a figura plana tancada per una línia poligonal, i s’haurà fet esment de les seves característiques, com el nombre de costats, els angles, etc. D’aquí hauran sortit tota una sèrie de noms associats a una imatge ideal del polígon, com aquestes:

Haver familiaritzat l’alumnat amb aquestes figures permetrà, ara que estem treballant amb l’àrea i ja hem explicat què és, poder passar a introduir les fórmules que es necessiten per a poder practicar el càlcul d’àrees. El docent presentarà alguna cosa com això (fixeu-vos que hàbil amb l’exemple, així pot aprofitar per deixar ben clar que l’altura no ha d’estar necessàriament a dins del triangle):

Tot seguit, l’alumnat podrà passar a practicar amb figures cada cop més complexes. Al començament, consultant les fórmules, però abans d’arribar a l’examen haurà hagut de memoritzar-les.

L’increment de dificultat sovint va associat a la desaparició del suport visual. Per exemple, un enunciat com aquest: «Troba la mesura dels costats d’un hexàgon regular si l’apotema fa 6 cm i l’àrea 124,7 cm².» Si hi ha temps, també s’incorporen alguns «problemes» que no deixen de ser els mateixos exercicis adornats amb elements de la realitat (per exemple, el rectangle passa a ser un camp de futbol o una habitació). L’examen final, que acreditarà l’aprenentatge, serà una col·lecció dels mateixos exercicis, però amb uns altres nombres, on cada exercici valdrà uns punts determinats.

Aturem-nos un moment abans de seguir perquè, si és 1r d’ESO, cal explicar tot això? Bé, ja sabem que moltes d’aquestes coses les hauran treballat a primària (ho sabem?, ho hem demanat als mestres?, hem mirat el currículum de primària?), però mai va malament «repassar». Si hi pensem bé, és bastant sorprenent que els docents de secundària acullin l’alumnat de primària sense saber res de l’etapa de la qual procedeixen i fent moltes assumpcions sense gaire fonament sobre què han fet o no ho han fet o haurien d’haver fet.

Un llibre de text convencional ofereix tot el material necessari per a fer aquesta seqüència d’explicació i exercicis sense gaire esforç. Però, si no tens llibre de text, també és molt fàcil trobar per la xarxa les imatges ja precuinades per a fer les explicacions i els PDF amb les llistes d’exercicis. La preparació de la classe del docent consistirà, doncs, a decidir quina explicació farà, què mostrarà i en quin ordre, quins exemples posarà i quins exercicis es faran a l’aula, quins de deures per casa i quan els corregirà. Les decisions sobre la correcció són sobre si serà col·lectiva (des de la pissarra) – i, en aquest cas, si farà sortir alumnat a la pissarra, voluntaris o obligats, o ho farà personalment – o si alguns exercicis els recollirà i els tornarà revisats individualment, o si, en canvi, anirà donant les solucions perquè l’alumnat s’autocorregeixi.

Després, també haurà de gestionar la classe. Respondre dubtes, vigilar que treballin… La tasca serà habitualment individual, perquè cal que cada un dels alumnes aprengui per si mateix. Les taules seran per treballar sols, tot i que sovint estaran asseguts per parelles, perquè entre ells es puguin ajudar, encara que molta estona es requerirà silenci, per escoltar o per concentrar-se en la feina. Naturalment, totes les taules tindran una perfecta visió de la pissarra i el projector, perquè és d’allà on sortirà tota la informació necessària i és també allà on se situarà el docent tant en la seva funció de transmissió com de control. Per a aquesta seqüència d’ensenyament-aprenentatge, qualsevol altra disposició introdueix interferència i caos que no aporta absolutament res.

És en la gestió de l’aula, tot i mantenir-se dins dels paràmetres d’ «escolta atenta, aixecar mans, treball individual, silenci», que es pot marcar una diferència. Per exemple, quan l’alumnat, que encara no ha rebut cap instrucció formal sobre el llenguatge algebraic i té només intuïcions, fa preguntes sobre la correspondència entre nombres, lletres i paraules. O quan demana per què l’altura està per fora del triangle, o per què l’àrea del triangle s’ha de dividir entre dos, o sobre el perquè de qualsevol altra fórmula. El docent pot actuar de manera que desincentivi qualsevol qüestionament i es recondueixi l’alumnat cap a una certa idea que no cal entendre res i només seguir instruccions, o pot obrir les portes a raonaments que donin una mica de sentit a tot plegat. És fàcil, però, que sigui el docent el que acabi fent el raonament, en la lògica de transmissió unidireccional, amb l’afany de respondre a les preguntes fins i tot abans que s’hagin formulat i, naturalment, abans que hi hagi hagut massa temps per pensar-hi. Correm el risc de convertir les matemàtiques en un llenguatge críptic, sense sentit. Fer sense pensar: convertir les matemàtiques en antimatemàtiques!

Tot això que he explicat fins ara, jo ho he fet.

M’atreveixo a dir que gairebé tots els docents de matemàtiques, amb rares excepcions, han començat treballant d’aquesta manera. Així és com hem après fent d’alumnes i la precària formació inicial difícilment ha tingut mai la força per fer entendre una manera diferent de treballar. També m’atreveixo a dir que una gran part del professorat es jubilarà sense haver-se mogut gaire d’aquest paradigma ni haver-lo qüestionat gens ni mica. Encara més, no només no el qüestiona sinó que s’irrita si algú altre ho fa! Moltes famílies també s’alineen amb aquesta postura, perquè no poden entendre una altra manera de treballar. Les mates són el que són i punt! Fins i tot quan s’introdueixen algunes sessions manipulatives, alguns jocs, la participació en algun concurs o altres activitats «diferents», no deixen de ser entreteniments. L’espina dorsal de l’aprenentatge de les mates continua sent aquest. És una inèrcia que ens arrossega cap a gestos i pràctiques de les quals potser reneguem de paraula, però que formen part de nosaltres en l’acció. Perquè… sempre s’ha fet així!

I si no hem de continuar fent-ho així?

En algun moment em vaig fer aquesta pregunta. Cal continuar-ho fent «com sempre»? Per què sentia aquella gran incomoditat preparant les meves classes d’aquella manera? Aquella sensació no va sorgir de la lectura de manuals teòrics, ni de formació pràctica. Tampoc de consells d’experts ni de comentaris de companys. Tot això va venir després, un cop jo ja havia començat a dubtar i a buscar la manera de convertir els meus dubtes inconcrets en preguntes coherents.

Els meus dubtes venien, principalment, de l’avorriment: el meu avorriment i l’avorriment que sospitava en l’alumnat. A qui pot agradar-li fer, si no és per obligació, tot el que he explicat abans? Estic convençuda que gran part dels que heu arribat fins aquí heu tingut una sensació desagradable veient part de les explicacions anteriors, especialment si no sou profes de mates. El de mates ja estem curats d’espants. Recordeu aquella frase del mestre Ioda: «La por porta a la ira, la ira porta a l’odi, l’odi porta al patiment«? Doncs jo sentia que aquell gran avorriment ens portaria a tots plegats a la manca de sentit, i això a la desmotivació i finalment a la por i l’odi a les mates. I sí, podíem acabar amb un gran patiment.

Més endavant vaig aprendre algunes coses sobre la importància de la motivació en l’aprenentatge, però sobretot, de la importància del sentit. Vaig descobrir també que la inclusió no era un extra de l’escola sinó que havia de ser la seva columna vertebral. I, sobretot, vaig quedar-me amb la sensació que no es tractava d’anar «baixant el nivell» perquè cada cop menys alumnes ens seguien, sinó d’apujar-lo substancialment proposant activitats molt més riques, més ben dissenyades i molt millor executades. En definitiva, em vaig adonar que m’havien donat carta blanca en una professió tan sensible sense absolutament cap eina a banda del sentit comú. Que ho desconeixia tot sobre el que volia dir ensenyar, sobre el que volia dir aprendre i sobre quin havia de ser el meu paper en tot plegat.

Em faltava saber de pedagogia, de sociologia de l’educació, de psicologia de l’adolescent, de legislació i de drets i deures del docent. El més greu de tot va ser adonar-me que de l’única cosa que sí que tenia clara – que havia d’ensenyar matemàtiques – en desconeixia completament la didàctica. A quina altra professió les pràctiques professionals – almenys les d’aula – difereixen tan poc de la imitació que se’n fa en els jocs infantils o de les pràctiques de sentit comú que imagina qualsevol ciutadà?

Per això vaig començar a llegir, a intentar aprendre diferents maneres de fer a partir de les experiències compartides per altres i, sobretot, vaig intentar provar per mi mateixa coses noves. Vull compartir algunes maneres alternatives d’abordar l’aprenentatge de «l’àrea», però no com a recepta sinó com a experiència per a reflexionar. En aquest camí no existeixen les fotocòpies que et resolen la sessió, ni respostes úniques. No existeix cap material, per bo que sigui, que substitueixi el saber professional. El més valuós de tot això no és el material generat o recopilat sinó les preguntes que van sorgint per un camí que mai acaba i les reflexions que obren noves perspectives. «Com» i, sobretot, «per a què» han de ser preguntes recurrents.

Ningú es pot estalviar el temps d’aprendre. El docent, menys que ningú.

Comencem per mirar el currículum!

Quan diem que anem a «estudiar les àrees» a què ens referim? És molt recomanable, abans de fer res, mirar el currículum per veure de què parlem. El consulto i em trobo aquests sabers que hi estan directament relacionats:

Sentit de la mesura

Si ens mirem amb detall la resta de sabers, trobem connexions clares amb el sentit espacial, sense el qual no podem treballar aquest aspecte concret de la mesura. Però també hi podríem trobar connexions amb sabers del sentit numèric, que s’expliciten en el bloc del sentit espacial de «Visualització i modelització geomètrica», com també amb altres sentits, com ara l’algebraic, i amb aspectes extra-matemàtics, depenent de les propostes que fem.

De moment no hi trobo cap saber que sigui «les fórmules», sinó «deducció, interpretació i aplicació d’estratègies» per a obtenir àrees. Deixar de centrar-se en la memorització i aplicació de les fórmules no seria, doncs, una «baixada de nivell» sinó, al contrari, un enriquiment i aprofundiment dels aprenentatges.

També podem consultar les orientacions curriculars, que despleguen una mica més els sabers. Miraré la proposta pel primer curs i seleccionaré només el que em sembla indispensable per aquesta situació, tot i que hi ha molts més ítems relacionats que són igualment interessants.

Sentit de la mesura

Abans de continuar endavant hem de recordar que el nostre currículum és competencial i hem de tenir presents, per tant, les competències. És important adonar-se que les competències de primària i les de secundària són pràcticament les mateixes, amb petits matisos de redacció, de manera que es pot establir una relació de continuïtat claríssima. Aquestes competències es poden agrupar en quatre processos:

• Resolució de problemes, entenent molt bé que un exercici no és un problema. La resolució de problemes és l’eix troncal de l’aprenentatge de les matemàtiques.
• Raonament i prova, el que vol dir que l’alumnat ha de poder formular conjectures i provar-les, i també trobar patrons i fer generalitzacions.
• Connexions, que vol dir trobar les relacions entre idees i conceptes intra i extra-matemàtics. Per posar un exemple senzill, establir la relació entre la potència de 2 i l’àrea d’un quadrat, la potència de 3 i el volum d’un cub i, en general, les multiplicacions amb les seves representacions geomètriques.
• Comunicació i representació, incloent-hi l’ús de material manipulatiu, les representacions gràfiques, l’expressió escrita, la comprensió lectora i l’oralitat.

A aquests quatre processos, el nostre currículum hi afegeix també els aspectes socioemocionals que corresponen a les dues últimes competències i que ens obliguen a tenir presents en tot moment aquells factors que han fet històricament de les matemàtiques una matèria temuda i odiada (i, en conseqüència, amb un nivell competencial baix entre la població). Aquestes competències paren atenció tant a la capacitat individual per autoregular-se i perseverar, com a les destreses socials que ens permeten cooperar amb els altres.

Després de llegir tot això sembla clar que la proposta inicial d’explicar les fórmules i aplicar-les és extremadament pobra perquè no cobreix ni de lluny els sabers ni les competències del currículum actual. No ensenya a resoldre autèntics problemes, no ajuda a desenvolupar competències de raonament, no s’esforça per establir connexions amb altres sentits matemàtics més enllà dels que apareixen de manera totalment inevitable (i sense treure’ls el suc), les competències de representació són limitades i les de comunicació pràcticament inexistents. Dels aspectes socioemocionals no cal ni parlar!

Intentem una cosa diferent

Si hem de parlar d’àrees, hem d’aconseguir que l’àrea sigui identificada com un atribut mesurable. Fer un dibuix a la pissarra i escriure’n la definició no és la manera d’aconseguir-ho. Una activitat d’identificació d’atributs mesurables a l’entorn proper, entre els quals han d’aparèixer com a mínim la longitud i l’àrea, i connectar-les directament amb la seva mesura mitjançant unitats antropomètriques o referències no convencionals (inventades pel mateix alumnat) serveix per a unes quantes coses:

1. Establir una connexió amb activitats fetes a primària, on probablement hauran treballat d’aquesta manera (i, si no ho han fet, em sembla una mancança que podrem detectar i començar a esmenar en aquell moment). A més, posarà de manifest coneixements previs i preconcepcions (correctes o incorrectes de l’alumnat).
2. Afavorir el treball col·laboratiu, el raonament, la presa de decisions i la conversa matemàtica.
3. Fer emergir la necessitat d’utilitzar unitats convencionals o, si més no, consensuades pel grup. El perquè de l’ús del Sistema Internacional emergeix a partir d’aquesta constatació. També l’evolució històrica de les unitats de mesura és un aspecte que es pot treballar a partir de les experiències viscudes durant l’activitat. No és casual que el desplegament del currículum de matemàtiques de l’ESO comenci amb aquesta frase: «Les matemàtiques es troben en qualsevol activitat humana, des del treball científic fins a les expressions culturals i artístiques, formant part del patrimoni cultural de la nostra societat.»
4. Importantíssim: en aquesta activitat tothom hi pot participar tota l’estona.

La gestió d’una activitat com aquesta requereix moviment a l’aula, conversa, soroll i unes indicacions prou clares per no tenir alumnat desorientat sense saber què cal fer però, alhora prou obertes per deixar espai a la creativitat i al descobriment. No els ho donem tot mastegat, no fem un teatre! Evidentment, és molt més complex de gestionar que repartir una fitxa i requereix una planificació prèvia i una gestió proactiva.

L’objectiu de tot plegat és poder arribar a establir una unitat genèrica de longitud i relacionar-la amb la unitat de mesura de l’àrea (més endavant, també del volum), i que tingui sentit per a l’alumnat. Aquesta representació ens ajudarà a començar a treballar altre tipus d’activitats sobre paper quadriculat. Els aprenentatges i raonaments que es facin amb aquesta unitat genèrica seran extrapolables a altres unitats convencionals.

D’on surten les fórmules de les àrees?

La següent activitat l’explicaré amb més grau de detall. Es tracta de calcular àrees començant pel recompte de quadrats (unitat quadrada genèrica), la seva distinció del perímetre (sovint amb aquesta representació es confon el perímetre amb «els quadrats del voltant» (per exemple, un error comú és dir que el primer rectangle té un perímetre 8).

Habitualment una part de l’alumnat comença comptant els quadrats de l’àrea un a un. Alguns se n’adonen immediatament – o recorden – que cal fer una simple multiplicació. Pel perímetre, hi ha qui, després de corregir l’error de comptar quadrets, compten els segments un a un, fins que s’adonen que també poden multiplicar i sumar.

S’introdueix aquí la pregunta de si rectangles de la mateixa àrea tenen el mateix perímetre, o se’ls demana comprovar amb un mateix perímetre quins rectangles diferents poden construir, i quina és la seva àrea.

La pregunta final, que tothom sap respondre, és si a partir de les estratègies de càlcul podem deduir la fórmula de l’àrea del rectangle (o justificar-la si, com és probable, ja ens la sabíem). També podem proposar una fórmula pel perímetre d’un rectangle.

Tot seguit introduïm els triangles. Com veieu, van acompanyats d’una «pista».

Hi ha alumnat que compta simplement els quadrats que queden en la seva major part dins del rectangle, o mitjos quadrats quan s’aproxima a la meitat, i descarta els quadrats que tenen una part petita a dins. Amb això aconsegueixen una aproximació, però hem de discutir per què no és exacte.

Sempre hi ha algú que en els dos primers triangles s’adona que l’àrea ha de ser la meitat. És important que a tothom li quedi clar, que no hi hagi acceptació per consentiment, perquè ho diu la majoria. Més que explicar per què és així hem de saber fer les preguntes adients. També ens poden ajudar de rectangles de paper, sense quadrícula, i mitjançant el plegament, «demostrar» que tenim la meitat. En teoria això ho haurien de saber de primària, però sempre trobarem alumnat que no ho sap, o que ho sap, però no ho entén. És millor posar bons fonaments per no començar a perdre alumnat.

El tercer triangle requereix més raonaments, i hem de convidar a l’alumnat que no només doni la resposta sinó que a més ho justifiqui: sumant dos triangles rectangles, plegant el rectangle, etc. Finalment, arribarem a la generalització de la fórmula de l’àrea del triangle. També podem intentar «demostrar-ho» amb un triangle obtusangle situat de manera que la seva altura quedi per fora del triangle. Podem fer-ho raonant sobre la quadrícula o bé, calcant el triangle girat, situant la seva base sobre un altre costat i fent-nos preguntes sobre les àrees dels rectangles en un i altre cas.

Com diu Peter Liljedahl, hem de fomentar i respondre a les preguntes que serveixen per continuar pensant, no les preguntes per deixar de pensar.

Quant al perímetre, hem de deixar que facin les seves hipòtesis i que s’adonin que en els costats que no són paral·lels o perpendiculars a la quadrícula, no poden comptar segments (no tots veuen d’entrada que la diagonal d’una unitat quadrada no és igual que la nostra unitat de longitud). Si haguéssim treballat abans el teorema de Pitàgores, podríem continuar investigant sobre el perímetre. Jo sempre faig aquestes activitats abans d’haver treballat Pitàgores i, per tant, aquí s’acaba, de moment, el tema dels perímetres. En cap cas, però, s’ha de donar «la fórmula de Pitàgores» descontextualitzada només perquè puguin «calcular el perímetre». Obtenir el valor exacte no ens importa, ens importa que aquest valor exacte provingui d’una comprensió.

Les altres figures que es van introduint són el rombe, el romboide i el trapezi. Per a totes seguim el mateix procés, centrats ara només a les àrees: estratègies de càlcul a través de la descomposició en formes conegudes, i posterior generalització a través d’una fórmula. No tot l’alumnat hi arriba, a la fórmula. Alguns es queden amb una explicació escrita del procediment, especialment en el cas del trapezi. No importa, objectiu aconseguit en qualsevol cas!

En el cas del romboide i el trapezi, després dels primers intents, s’ofereixen aquestes pistes:

Com ja he dit, no tothom arriba a desenvolupar la fórmula (només és imprescindible comprendre i memoritzar la del rectangle i el triangle), la qual cosa no és sorprenent perquè encara no han desenvolupat prou el seu llenguatge algebraic i és un nivell d’abstracció que alguns encara no poden assolir. Però no té més importància si hem aconseguit que tothom entengui com calcular les àrees i com utilitzar estratègies alternatives quan no sabem les fórmules.

Per acabar de consolidar les estratègies i desenvolupar-ne de noves, es proposen aquestes dues fitxes, de dificultat creixent. En algunes figures cal adonar-se que, a banda de sumar «trossos» del polígon, també podem dibuixar polígons que continguin el nostre polígon, amb àrees fàcils de calcular, i restar els «trossos que sobren». Però, evidentment, aquesta pista no la donarem fins que s’hagin trencat les banyes una mica. I, quan la donem, serà una pista, no unes instruccions per procedir pas a pas.

L’alumnat amb dificultats pot quedar-se en la primera fitxa i, si té moltes dificultats, fins i tot amb les quatre primeres figures. Potser no tothom serà capaç d’arribar als últims polígons. És molt més important que el que es faci es comprengui, es justifiqui, es representi i es comuniqui.

Gestió de l’aula

Per treballar aquesta seqüència d’activitats l’alumnat està en grups. No és imprescindible que siguin grups aleatoris ni grups completament heterogenis quant a competències matemàtiques. Poden ser els grups taula amb els criteris generals que s’hagin establert. La tasca és individual, és a dir, tothom ha de pensar i fer la seva feina, però poden parlar, compartir estratègies i ajudar-se. En altres tasques això pot ser diferent, no és la regla general.

La docent (o sigui, jo) passa per les taules, però cada taula avança al seu ritme. Quina funció té el docent que «passa per la taula»?

• Resoldre dubtes; és a dir, respondre preguntes per continuar pensant. Algunes preguntes es poden respondre amb una altra pregunta: «com havies fet la figura anterior», «per què has sumat aquests dos nombres?», «veus alguna semblança entre el que has fet abans allà i el que podries fer aquí». Les ajudes han d’estar adaptades a les necessitats de cadascú.
• Fer preguntes per comprovar que tothom està pensant. Observar si algú està molt perdut, molt sol, molt desconnectat. Actuar per ajudar a reconnectar.

En el cas dels rectangles i triangles, quan es veu que a totes les taules han arribat a una conclusió (més o menys correcta, més o menys elaborada) es fa una petita pausa per posar en comú estratègies, resultats i la fórmula. En la resta de figures, no cal, es pot anar fent un seguiment taula per taula al ritme que vagin treballant.

D’acord amb la temporització prevista, en un moment donant es dona per acabat el temps destinat a les figures i les seves fórmules, i es passa al treball de les fitxes finals – que potser els grups més avançats ja han començat fa estona. És convenient tenir tasques extra que no siguin «més del mateix» sinó que suposin un repte addicional per aquelles persones o grups que vagin molt per davant de la resta. Cal assegurar-se que tothom hagi pogut, com a mínim, arribat a calcular l’àrea del rombe o el romboide, i proposat una estratègia general de resolució, si no és amb la fórmula, amb llenguatge natural.

Aquesta activitat es va portar a terme sense codocència en grups molt heterogenis. Si es pot fer amb codocència, encara és millor. En tot cas, les instruccions han d’estar molt clares i el material s’ha de repartir amb el grup tranquil i un cop donades les consignes (les pistes i fitxes finals es reparteixen en el moment que es necessiten). La proactivitat del docent i l’estimulació de la conversa amb el docent i entre el mateix alumnat és aquí el factor clau de l’èxit de l’activitat.

És una activitat arriscada perquè es mou entre dues aigües. No presenta un repte clar i engrescador sinó petits reptes encadenats que no deixen de ser «tasques de classe» que no difereixen molt d’altres tasques matemàtiques habituals. Per l’alumnat que està acostumat a una cultura d’aula que li demana seguir instruccions i no pensar massa, això esdevé desorientador i no té la gràcia de les activitats «diferents» que semblen més divertides i especials. Poder treballar així requereix un període d’aclimatació. Penso que si torno a fer aquesta activitat – malgrat que em va funcionar molt bé amb els grups que tenia – miraré de donar-li una volta. Potser trossejar-la i plantejar reptes diferenciats amb contextos d’autèntica resolució de problemes.

Una mica de GeoGebra

Abans ens hem quedat una mica a mitges amb els perímetres perquè ens faltava una eina, tot i que algun espavilat sempre acaba decidint que la manca de teorema de Pitàgores no l’atura i, retallant una tira de la quadrícula, es fabrica un instrument de mesura improvisat per esbrinar les longituds en unitats (segment)! (Molt bé!!!)

Però la relació entre l’àrea i el perímetre és massa interessant per deixar-la en mans de la nostra capacitat o ganes de mesurar manualment múltiples figures. Per això tenim les eines digitals, i amb aquests applets de GeoGebra que comparteix el blog del Calaix+ie o altres de similars, podem fer molts experiments i comprovacions.

Quan treballem amb eines digitals és molt important haver deixat clar el propòsit de la tasca i tenir reptes o preguntes clares a resoldre. Hi ha d’haver un moment de reflexió sobre allò que hem fet, allò que hem descobert i ser capaços d’explicitar els nostres aprenentatges. De fet, això és sempre important, però tendim a oblidar-ho més fàcilment amb aquest tipus d’eina.

L’eina digital no pot ser mai un entreteniment, ni una manera fàcil d’omplir una sessió, igual que tampoc no ho és una fotocòpia amb activitats que ens permet anar fent les nostres coses mentre l’alumnat fa les seves. De fet, un dels criteris d’avaluació de la competència 3 (Raonament i prova) és aquest:

Per tant, no fem servir el GeoGebra com un extra, és un element fonamental dels aprenentatges matemàtics. L’ús de les eines digitals s’esmenta explícitament, a més, en el bloc de sabers Mesurament del Sentit de la mesura.

Enrajolem

Aquesta activitat està desenvolupada al blog de l’Institut Baix a Mar, tot i que part de les imatges han quedat inaccessibles en el moment que escric aquestes línies. És una activitat molt motivadora per a l’alumnat que serveix per treballar les àrees, però també els girs i les simetries, com també la proporcionalitat. A més, permet participar-hi amb èxit a tot l’alumnat, que pot fer produccions molt senzilles o molt elaborades. Ningú queda fora, i es posen en joc més competències de les que sembla.

Aquí està la primera pàgina del dossier de treball (les següents propostes són similars però amb dos i tres segments).

No a tot l’alumnat li resulta fàcil veure quan una figura és igual que una altra en fer una rotació. No tot l’alumnat és capaç d’identificar àrees iguals quan les línies deixen de ser perpendiculars o diagonals. És sorprenent la quantitat d’alumnes que aprèn el concepte «adjacent» tot fent aquesta proposta.

Aquesta és una mostra de la feina feta per una alumna:

El producte final és la creació d’un mosaic a partir d’una rajola de disseny original amb l’únic requisit de ser una rajola de dos colors que ocupin una àrea equivalent.

Bons problemes

Plantejar bons problemes és difícil si ens els hem d’inventar tots. Per sort, hi ha repositoris amb munts de problemes molt ben pensats. Alguns llocs on trobar bancs de problemes rics:

• Nrich, de la Universitat de Cambridge. Classificats per nivell i contingut.
• Recull de problemes del Fem matemàtiques. Filtre per contingut i curs (des de 5è de primària)
• TOR: Textos d’orientacions i recursos (de les Orientacions Curriculars)
• PuntMat
• Math for Love
• El blog Calaix +ie
• Molts més llocs accessibles des del meu padlet, que vaig ampliant quan en trobo de nous.

Per exemple, aquest problema, extret del banc de Fem matemàtiques. Aquesta proposta, en concret, no l’he feta mai, però m’ha semblat molt maca.

Els bons problemes són encara més bons si es poden comentar amb els companys, però de vegades ve de gust concentrar-s’hi en soledat. Normalment, cal molta feina de llapis i paper, molts dibuixos, moltes proves. I llavors ho compares amb el que ha fet el del costat i veus idees que de sobte et semblen ben evidents i no hi havies caigut. Altres cops, per més que t’ho expliqui, no entens com ha arribat allà i t’aferres a la teva solució. Podem fer tots el mateix problema, o podem triar cadascú el que vol resoldre. Sovint fem grups aleatoris i anem a les pissarres amb l’única ajuda d’un retolador per tres. Ens hi barallem a peu dret, espiem les idees dels companys, intentem posar en paraules el pensament matemàtic i les idees es multipliquen en verbalitzar-les, i després les endrecem per escrit.

Els bons problemes solen ser descontextualitzats: no es resolen amb allò que ens acaben d’explicar; en canvi, cal mobilitzar tots els teus coneixements matemàtics. Però, paradoxalment, estan plens de context… un context amb sentit, no una decoració per simular-lo. Aquest context no és sempre un context de la vida real, ni tan sols és necessàriament un context extra-matemàtic. De vegades els contextos purament matemàtics són suficients per omplir de sentit i desafiament un problema.

Cada problema és una petita situació d’aprenentatge, i cada autèntica situació d’aprenentatge matemàtic inclou, en el seu cor, l’esperit d’un problema per resoldre.

L’aula és el mirall de l’ànima

En el moment d’escriure aquestes línies, fa dos cursos que no estic a l’institut. Aquesta d’aquí a sota va ser la meva penúltima aula, i l’única que vaig poder organitzar – dins d’uns marges – sota el meu criteri.

Taules d’equip, pissarres petites a totes les parets i espai per moure’m per l’aula, cosa que hauria estat impossible amb 30 alumnes en taules individuals. No vaig poder arribar a muntar el carretó del material de mates, que era la següent idea.

Sobre organització d’espais recomano molt llegir Diseñando aulas para pensar en matemáticas. L’espai condiciona moviments, expectatives i actituds. També estats d’ànim i predisposició a un tipus de feina o un altre, o a cap feina!

Ens ho podríem estar passant tan bé!

No em vull avorrir a l’institut, ni vull que l’alumnat s’hi avorreixi fins al punt d’odiar les mates (ni l’aprenentatge en general). Estic convençuda que l’avorriment no és una bona manera d’aprendre, i crec que els adolescents volen aprendre! No hi ha res pitjor que anar a l’institut i sortir pensant que no has après res. Però això és un pensament revolucionari, tots estem ben resignats a un cert grau de patiment i desesperança, i per això creiem que el que s’ha fet sempre és el que hi ha. Però no! No hem d’acceptar una visió reduccionista i poc ambiciosa de l’aprenentatge. Per aprendre cal pensar, equivocar-se, barallar-se amb els problemes i construir noves idees. I aquí és on ens han de trobar, als docents, preparant els escenaris d’aquestes èpiques aventures de descoberta!

Ni de lluny he aconseguit el que voldria, i penso sovint què canviaré quan hi torni per avançar en aquesta direcció que tinc tan clara. Faig meves les paraules de Paul Lockhart al seu A Mathematician’s Lament:

I aquí ho teniu. Una recepta completa per inutilitzar permanentment les ments joves: un remei provat contra la curiositat. Què n’han fet, de les matemàtiques!
Hi ha una profunditat que talla l’alè i una bellesa colpidora en aquesta forma d’art mil·lenària. Quina ironia que tanta gent consideri les matemàtiques l’antítesi de la creativitat. S’estan perdent una forma d’art més antiga que qualsevol llibre, més profunda que qualsevol poema i més abstracta que qualsevol abstracció. I és l’escola qui ha provocat tot això! Quin cicle tan trist i interminable: mestres innocents que, sense voler, fan mal a alumnes innocents. Tots ens ho podríem passar molt millor.

No puc afegir res més a aquestes paraules, només una exhortació: passem-nos-ho molt millor!

---

En tot el que he compartit segur que hi ha moltes coses a millorar, però he pensat que valia la pena posar exemples concrets perquè ja he escrit massa sobre idees generals que potser cadascú interpreta d’una manera i que no serveixen gaire per relacionar-ho amb la pràctica. Podria haver seguit, parlant d’avaluació i de dubtes que tinc, coses que han estat fracassos i moments d’alegria. En la meva pràctica he intentat no imitar mai res que no sabés per què ho feia ni fer res en què no cregués. D’altra banda, penso que és bo no parar mai de fer-se preguntes ni de posar en dubte el que semblava segur. Espero haver sabut transmetre el que significa, per a mi, «fer classe de mates».

Per si us serveix, aquí trobareu recursos de tota mena per a l’ensenyament-aprenentatge de les mates. En destaco aquests llibres:

Salut i mates!

Imatge de capçalera de Roxana do Carmo